Co znamená slovo konvexní

Klikněte a vyberte si HRAČKY PRO DĚTI

Slovo „konvexní“ pochází z latinského „convexus“, což znamená „vyboulený“ nebo „zakřivený směrem ven“. V současném použití se tento termín vztahuje na geometrické tvary a matematické objekty, které mají určité specifické vlastnosti. Konvexní objekty mají vlastnost, že všechny jejich vnitřní úhly jsou menší než 180 stupňů a všechny body ležící na jejich povrchu nebo hranici jsou takové, že jakýkoli úsek, který spojuje dvě libovolné body v jejich vnitřku, leží také uvnitř objektu.

Konvexní v geometrii

V geometrii se konvexní objekty charakterizují tím, že:

Každý úsek spojující dva libovolné body v konvexním objektu leží uvnitř objektu. To znamená, že pokud si zvolíme libovolné dva body uvnitř konvexního mnohouhelníku nebo mnohostěnu, čára, která je spojuje, zůstává uvnitř tohoto objektu.
Všechny vnitřní úhly mnohouhelníku jsou menší než 180 stupňů. U konvexních polygonů (např. trojúhelníků nebo čtverců) to znamená, že žádné úhly nejsou „vyčnívající“ nebo „vnitřní“ (což by bylo v případě konkávních polygonů).

Příkladem konvexních tvarů jsou:

Konvexní polygon: Například čtverec nebo rovnostranný trojúhelník, kde všechny vnitřní úhly jsou menší než 180 stupňů.
Konvexní mnohostěn: Například krychle nebo pravidelný tetrahedron, kde každý úsek mezi dvěma libovolnými body uvnitř tělesa je stále uvnitř tělesa.

Konvexní funkce

V matematice, konkrétně v analýze, se termín „konvexní“ používá k popisu funkce, která má určité vlastnosti:

Konvexní funkce je taková funkce $f(x)$ , pro kterou platí, že pro všechny $x_1$ a $x_2$ a všechny $\lambda$ mezi 0 a 1, je: $f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$ Jinými slovy, hodnota funkce na jakémkoli bodě úsečky mezi $x_1$ a $x_2$ je menší nebo rovna lineární kombinaci hodnot funkce v těchto bodech.

Konvexní funkce mají významné vlastnosti a aplikace, například v optimalizačních problémech, kde hledání minima konvexní funkce je jednodušší než u nekonvexních funkcí. Konvexní funkce mají také užitečné vlastnosti, jako je to, že každé lokální minimum je také globálním minimem.

Konvexní geometrie

Konvexní geometrie je oblast matematiky, která se zabývá studiem konvexních objektů a jejich vlastností. Tento obor zkoumá různé aspekty konvexních množin a funkcí, včetně jejich geometrie, algebraických vlastností a aplikací v dalších oblastech matematiky a vědy.

Konvexní a konkávní

Pro kontrast je důležité zmínit pojem „konkávní“:

Konkávní objekt je takový, který má alespoň jeden vnitřní úhel větší než 180 stupňů, a pokud spojujete dva body v jeho vnitřku, úsek mezi nimi může ležet mimo tento objekt.

Aplikace konvexních vlastností

Konvexní vlastnosti jsou důležité v mnoha praktických oblastech:

Optimalizace: V oblasti optimalizace se často hledají minima nebo maxima konvexních funkcí, protože problémy s konvexními funkcemi mají často jednoznačné řešení, které je globálně optimální.
Počítačová grafika: V počítačové grafice se konvexní množiny používají při modelování a zpracování geometrických tvarů a obrazů.
Statistika: V statistice a ekonomii se konvexní funkce a množiny používají k modelování a analýze různých datových rozdělení a optimalizačních problémů.

Závěr

Slovo „konvexní“ označuje vlastnost objektu nebo funkce, která se vyznačuje tím, že všechny úseky spojující dva body uvnitř objektu leží uvnitř objektu, a v případě funkce, že hodnota funkce na úsečce mezi dvěma body je nižší nebo rovna lineární kombinaci hodnot funkce v těchto bodech. Konvexní vlastnosti jsou důležité pro geometrické modelování, optimalizaci, statistiku a další vědecké a praktické aplikace.